Effet Unruh - Troisième approche

La température de Hawking, définie précédemment, peut aussi être obtenue par une approche radicalement différente utilisant un mécanisme très particulier, l'effet Unruh.

La théorie des champs quantiques montre que le vide ne peut pas être simplement décrit comme correspondant à un tenseur énergie-impulsion strictement nul, l'état vide $\vert \rangle$ devant être défini pour satisfaire : $\langle 0\vert T^{\mu \nu}\vert \rangle = 0.$

Ceci est habituellement interprété comme la définition de l'absence de particules et l'on peut ainsi s'attendre à ce qu'un observateur accéléré ne perçoive aucune particule puisque l'élément de matrice alors modifié sera également nul. Cependant, cette conclusion est fausse : un observateur accéléré détectera en fait une radiation thermique qui est le résultat direct de son mouvement. Ceci a été montré dans les grandes lignes par Davies [9], puis analysé en détail par Unruh [10]. Ces émissions sont connues sous le nom de radiations Unruh ou plus généralement d'effet Unruh.

La solution du paradoxe réside dans le fait que le concept de particule doit être défini de façon opérationnelle. Le modèle le plus simple de détecteur est un appareil composé de différents niveaux d'énergie interne $E_i$ qui peut être caractérisé par un "champ de détecteur" $D$. L'appareil détectera alors des particules au travers du terme usuel d'interaction dans le Lagrangien $\mathcal L_I = gD(\tau)\phi (x^\mu (\tau)),$ où $\tau$ est le temps propre de détecteur (on suppose un champ scalaire par souci de simplicité). Par définition, la détection d'une particule se traduisant par l'excitation du détecteur, la transition au premier ordre est : $A(a\rightarrow b) = ig \left\langle b \vert \int D \phi d\tau \vert a \right\rangle.$

Si l'on considère tout d'abord ce qui se passe lorsque le détecteur est maintenu stationnaire, mais immergé dans un bain thermique avec $n={(\exp \hbar \omega / kT +1)}^{-1}$, le taux de détection est^1.2 :

$$\frac{dp(a\rightarrow b)}{dt} = g^2 {\vert \langle b \vert D... ...pi)}^{-1} \delta(E_b-E_a-\omega )}{e^{\hbar \omega / kT} - 1}.$$ (1.14)

Considérons maintenant que l'état initial est vide mais que le détecteur accélère. La trajectoire de l'appareil subissant une accélération propre constante est $x = a^{-1} [\cosh(a\tau)-1]~;~ t = a^{-1} \sinh(a\tau),$ ce qui conduit [11] à:

$$\frac{dp(a\rightarrow b)}{dt} = \frac{g^2}{2\pi}{\vert \lang... ... a \rangle \vert}^2\frac{\Delta E}{e^{2\pi\Delta E / a} - 1},$$ (1.15)

et la comparaison avec le résultat (1.14) montre que les particules sont absorbées comme si le détecteur accéléré ressentait une radiation de température :

$$T_{accel}=\left( \frac{\hbar}{ck}\right) \frac{a}{2\pi}.$$ (1.16)

Bien entendu, à la limite d'un détecteur stationnaire, aucune particule ne sera décelée et ce taux de détection augmente avec l'accélération. Cet effet n'est guère sensible dans l'expérience quotidienne, puisque pour une accélération de $1g$, la température associée est de $4 \times 10^{-20} K$.

L'application de ces résultats permet de retrouver la température de Hawking définie dans le paragraphe précédent : un observateur en chute libre ne verrait aucune radiation, mais un observateur stationnaire accélère par rapport à son repère inertiel et doit percevoir une radiation décrite par l'analyse précédente (ce n'est autre que le principe d'équivalence : gravité $\leftrightarrow$ accélération). Dans le cas de la métrique de Schwarzschild, l'accélération propre pour cet observateur au repos dans le champ gravitationnel d'un trou noir à $(r, \theta, \phi)$ constant est :

$$a=\frac{GM}{r^2}{\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)}^{-1/2}.$$

Le terme entre parenthèses représente le facteur de dilatation du temps pour un rayon $r$. Ainsi, la radiation Unruh avec $T(r)=\left( \frac{\hbar}{ck}\right) \frac{a(r)}{2\pi}$ émerge à l'infini avec une température $T=\frac{GM}{2\pi r^2}$. Si l'on suppose que la radiation n'est émise qu'au niveau de l'horizon, on obtient une autre dérivation de la température de Hawking :

$$T_H =\left(\frac{\hbar c^3}{k}\right) \frac{1}{8\pi GM}.$$ (1.17)