Second principe généralisé

Les effets quantiques violent la condition d'applicabilité du théorème de l'aire de Hawking. En effet, l'évaporation quantique diminue l'aire des trous noirs, et l'inégalité (1.9) n'est plus respectée. D'autre part, la radiation des trous noirs est de nature thermique, et cette évaporation est accompagnée d'une élévation de l'entropie dans l'espace environnant. On doit donc construire l'entropie généralisée $\tilde{S}$, définie par la somme de l'entropie du trou noir $S^H$, de l'entropie de la radiation et de la matière environnante $S^m$ ( $\tilde{S}=S^H+S^m$), telle qu'elle ne diminue pas. En fait, on peut montrer que le taux d'augmentation (mesuré par un observateur distant) de la masse et de l'entropie de la matière à l'extérieur du trou noir s'écrit sous la forme :

$$\frac{dM^m}{dt}=-\frac{dM^H}{dt}=\frac{1}{4}\sigma_s h_s \Si... ... \frac{dS^m}{dt}=\frac{1}{3}\sigma_s B_s h_s \Sigma_s \theta^3$$ (1.10)

où $h_s$ est le nombre d'état de polarisation du champ; $\sigma_s = \frac{\pi^2}{30}$ pour les bosons et $\frac{7\pi^2}{240}$ pour les fermions, $\Sigma_s$ est la section efficace effective du trou noir, $\theta$ est sa température et $B_s$ est un coefficient sans dimension de l'ordre de l'unité. D'autre part, la variation d'entropie $S^H$ d'un trou noir sans rotation est liée à la variation de sa masse par :

$$dS^H=\theta^{-1}dM^H.$$ (1.11)

Par comparaison entre (1.10) et (1.11), on trouve :

$$R \equiv -\frac{dS^m}{dS^H} =\frac{4}{3} B_s.$$ (1.12)

Les calculs numériques ont démontré (autant qu'un calcul numérique puisse démontrer, ce qui déplairait fortement à Wittgenstein...) que le coefficient $B_s$ était toujours plus grand que $\frac{3}{4}$ et ainsi que l'entropie généralisée $\tilde{S}$ augmentait lors de l'émission radiative d'un trou noir. On peut montrer que s'il existe une radiation de corps noir à une température $\tilde{\theta}$ à l'extérieur du trou noir, l'entropie généralisée augmente encore, sauf si $\tilde{\theta} = \theta$. Dans ce cas particulier, l'augmentation de l'entropie due à l'évaporation est exactement compensée par la diminution de celle due à l'accrétion d'une radiation thermique autour du trou noir.

Ces arguments sont une base solide pour proposer le Second principe généralisé : Dans tout processus physique concernant un trou noir, l'entropie généralisée $\tilde{S}$ ne diminue pas :

$$\Delta \tilde{S} = \Delta S^H + \Delta S^m \geq 0.$$ (1.13)

Le fait que le second principe généralisé fournisse un lien entre des quantités très différentes, $S^m$ (qui caractérise le "degré de chaos" dans la structure de la matière physique) et $S^H$ (qui est une caractéristique géométrique du trou noir), est une nouvelle indication de leur profonde similitude. En fait, l'éventualité très probable d'une telle relation prend sa source dans les équations d'Einstein qui relient les caractéristiques physiques de la matière avec les propriétés géométriques de l'espace-temps.