Trous noirs et thermodynamique

La découverte (théorique pour le moment) de la radiation thermique des trous noirs a été une véritable surprise pour les principaux spécialistes, même si de nombreuses indications sur une relation entre la thermodynamique et la physique des trous noirs avaient émergé avant cette découverte. Wheeler semble avoir été le premier à remarquer la contradiction entre l'existence des trous noirs dans la théorie classique de la gravitation et le principe de non décroissance de l'entropie. En effet, si un trou noir absorbe un corps chaud possédant une certaine entropie, un observateur extérieur constate une diminution de l'entropie totale du monde accessible à ses observations. Cette disparition peut être contournée formellement si l'on attribue au trou noir une entropie égale à celle du corps absorbé. En fait cette "solution" n'est manifestement pas satisfaisante puisque classiquement, dès l'absorption, le trou noir redevient stationnaire et perd complètement toute information (dont l'entropie) sur le corps disparu.

Si l'on veut éviter de renoncer à ce principe fondamental de la thermodynamique, on doit postuler qu'un trou noir possède par lui-même une certaine entropie et qu'un corps chaud plongeant dans celui-ci ne lui transfère pas seulement sa masse, sa charge et son moment angulaire, mais également sa propre entropie $S$, augmentant ainsi celle du trou noir d'au moins une telle quantité. Bekenstein remarqua que les propriétés de l'une des caractéristiques des trous noirs - l'aire $\mathcal{A}$ - étaient très semblables à celles de l'entropie puisque, d'après le théorème de Hawking, elle ne peut diminuer dans aucun processus classique. Ainsi, un trou noir arbitraire, à l'instar d'un système thermodynamique, atteint-il un équilibre (stationnaire) une fois les processus de relaxation achevés. Dans cet état, il est entièrement décrit par un nombre limité de paramètres : $M$, la masse, $Q$, la charge et $J$, le moment angulaire; l'aire $\mathcal{A}$ étant fonction des ces trois variables :

$$\mathcal{A}=4\pi \left(2M^2 - Q^2 +2M\sqrt{M^2 - Q^2-\frac{J^2}{M^2}}\right).$$ (1.4)

Par inversion de la relation précédente^1.1, on obtient la valeur de l'énergie interne :

$$M \equiv M(\mathcal{A}, J, Q) = {\left[\frac{\pi\left[{\left... ...}\right)}^2 + 4J^2\right]}{\mathcal{A}}\right]}^{\frac{1}{2}}.$$ (1.5)

Les énergies internes de deux trous noirs stationnaires présentant des entropies, des moments angulaires et des charges électriques diffèrant respectivement de $d\mathcal{A}$, $dJ$ et $dQ$, se distinguent de :

$$dM =\frac{\kappa}{8\pi} d\mathcal{A} + \Omega^H dJ + \Phi^H dQ$$ (1.6)

où $\kappa=4\pi \frac{\sqrt{M^2 - Q^2-\frac{J^2}{M^2}}}{\mathcal{A}}$ est la gravité de surface; $\Omega^H =\frac{4\pi J}{M \mathcal{A}}$ est la vélocité angulaire, et $\Phi^H=\frac{4\pi Q r_+}{\mathcal{A}}$ est le potentiel électrique du trou noir ( $r_+ = M + \sqrt{M^2-Q^2-\frac{J^2}{M^2}}$ correspondant à l'horizon causal en géométrie de Kerr-Newmann, i.e dans le cas d'un trou noir chargé et en rotation). Le second et le troisième terme décrivent respectivement les changements d'énergie de rotation et d'énergie électrique.

Cette relation est similaire au premier principe de la thermodynamique. L'analogue de la température (la variable conjuguée de l'entropie) est une quantité proportionnelle à la gravité de surface $\kappa$. Le résultat de Hawking sur la nature thermique de la radiation d'un trou noir stationnaire n'amène pas seulement à cette analogie mais fixe aussi le coefficient reliant la température $T_H$ au champ à l'horizon $\kappa$. On peut remarquer que la relation (1.6) est identique au premier principe de la thermodynamique, $dE = \theta dS^H + \Omega^H dJ + \Phi^H dQ$, si l'on suppose l'expression suivante pour l'entropie du trou noir :

$$S^H=\frac{\mathcal{A}}{4l_{Pl}^2}, \mbox{ } l_{Pl}^2=\frac{\hbar G}{c^3}.$$ (1.7)

Cette quantité est connue sous le nom d'entropie de Bekenstein-Hawking.