Antiprotons primaires [21]

Le flux d'antiprotons issus de processus "conventionnels" étant maintenant connu, nous nous proposons ici d'étudier le flux d'antiprotons issus d'une éventuelle population de trous noirs primordiaux (PBH) dans notre galaxie.

Le spectre de Hawking donnant le flux différentiel de particules par unité de temps s'écrit, par degré de liberté, pour une énergie $Q$ :

$$\frac{{\rm d}^2N}{{\rm d}Q{\rm d}t}=\frac{\Gamma_s}{h\left(\exp\left(\frac{Q}{h\kappa/4\pi^2c}\right)-(-1)^{2s}\right)}$$

où $\kappa$ représente la gravité de surface du trou noir, $s$ le spin de l'entité émise et $\Gamma_s$ la probabilité d'absorption correspondante. La charge et le moment angulaire du trou noir ont été omis dans cette expression, dans la mesure où ces derniers s'annulent dès les premiers instants de l'évaporation [22]. Dès que la température du trou noir est supérieure à l'échelle de confinement de QCD, des quarks et des gluons sont émis [23,24] (et non pas des hadrons comme cela fut supposé initialement). Cela rend l'écriture du spectre plus complexe :

$$\frac{{\rm d}^2N_{\bar{p}}}{{\rm d}E{\rm d}t}= \sum_j\int_{Q... ...)^{-1} \times\frac{{\rm d}g_{j\bar{p}}(Q,E)}{{\rm d}E}{\rm d}Q$$

où $\alpha_i$ représente le nombre de degrés de liberté, $E$ est l'énergie de l'antiproton et ${\rm d}g_{j\bar{p}}(Q,E)/{\rm d}E$ est la fonction de fragmentation différentielle normalisée, c'est-à-dire le nombre d'antiprotons d'énergie comprise entre $E$ et $E+dE$ créés par un parton de type $j$ et d'énergie $Q$. Pour calculer ces fonctions de fragmentation (la figure 1.5, à gauche, présente un exemple pour un quark u), nous avons utilisé la simulation Monte-Carlo PYTHIA [102] fondée sur le modèle des cordes classiques de Lund. De plus, pour le calcul des $\Gamma_s$, donnés par

$$\Gamma_s=\frac{4\pi \sigma_s(Q,M,\mu)}{h^2c^2}(Q^2-\mu^2),$$

où $\mu$ est la masse de la particule émise, la section efficace $\sigma_s(Q,M,\mu)$ a été évaluée exactement en utilisant les calculs numériques de D. Page (J.H. MacGibbon communication privée) et non pas un prenant la limite ultra-relativiste usuellement supposée. La figure 1.5 présente, à droite, ce comportement pseudo oscillant qui change les résultats de quelques pourcents.

Figure: Gauche : Fonction de fragmentation d'un quark u en antiprotons, en fonction de l'énergie du jet et de l'énergie cinétique de l'antiproton émergeant. Droite : section efficace (normalisée à la limite optique) d'absorption d'une particule par un trou noir en fonction du produit de la masse du trou noir par l'énergie de la particule (en unité de Planck) pour trois valeurs de masse (de bas en haut : $M\mu =0, M\mu =0.2, M\mu =0.4$).

Afin de calculer le spectre d'antiprotons pour une densité locale de PBH fixée, le nombre $Q^{prim}(R,z,E)$ d'antiprotons emis avec une énergie cinétique comprise entre $E$ et $E+dE$ par unité de volume et de temps doit être évalué. Il est proportionnel au nombre $d^2n/dMdV$ de PBH par unité de masse et de volume et au flux individuel $d^2N_{\bar{p}}/dEdt$ émis par un PBH, soit

$$q^{prim}(r,z,E) = \int\frac{d^2N_{\bar{p}}(M,E)}{dE\, dt} \cdot \frac{d^2n(r,z)}{dM \, dV} dM$$

où $r$ et $z$ sont les coordonnées cylindriques décrivant la position dans la galaxie. Comme la physique de l'évaporation ne dépend pas de la densité numérique, on peut écrire

$$q^{prim}(r,z,E) = q^{prim}(r,z) \times Q^{PBH}(E)$$

avec

$$q^{prim}(r,z) = \frac{\rho^{PBH}(r,z)}{\rho^{PBH}_\odot} \... ...d^2N_{\bar{p}}}{dE\, dt} \cdot \frac{d^2n_\odot}{dM \, dV} dM$$

où $d^2n_\odot/dMdV$ représente le spectre de masse local, par unité de volume. Les trous noirs primordiaux doivent présenter une distribution spatiale similaire à celle des particules de matière noire froide (CDM). Hélas, la forme du halo CDM est encore très mal connue (voir, par exemple, [26] et références incluses) et nous utilisons la description générale :

$$\frac{\rho^{PBH}(r,z)}{\rho_{\odot}^{PBH}} = \left( \frac{... ...alpha}{R_c^\alpha + (\sqrt{r^2+z^2})^\alpha} \right)^\epsilon$$

où les valeurs numériques de $\gamma$, $\alpha$ et $\epsilon$ sont données dans [27] (le profil isotherme classique s'obtient avec $\gamma=0$, $\alpha=2$ et $\epsilon =1$).

La détermination du spectre de masse des trous noirs primordiaux aujourd'hui (i.e. en tenant compte de ce qu'ils se sont formés il y a 13.8 Myr) demande, en principe, la connaissance du spectre initial et de la loi d'évolution temporelle de la masse de chaque PBH. Le premier point a été étudié par Carr [28] et conduit à supposer

$$\left(\frac{{\rm d}n}{{\rm d}M_{init}}\right) \propto M_{init}^{-5/2}$$

pour un spectre de puissance primordial invariant d'échelle de type Harrison-Zeldovitch. La dérivation de cette distribution est très complexe et relativement modèle dépendante. Néanmoins, nous verrons par la suite qu'elle ne joue pratiquement aucun rôle dans l'ensemble des résultats obtenus. En revanche, la prise en compte du terme d'évolution est primordiale. Celui-ci s'obtient simplement par intégration du spectre de Hawking multiplié par l'énergie, conduisant à :

$$M^2{\rm d}M/{\rm d}t \approx \{ 7.8d_{s=1/2}+3.1d_{s=1} \} \times 10^{24}$$

où $d_{s=1/2}=90$ et $d_{s=1}=27$ (pour $M\rightarrow 0$) tiennent compte du nombre de degrés de liberté accessibles dans le modèle standard. La figure 1.6 présente le terme $\alpha= 7.8d_{s=1/2}+3.1d_{s=1}$ en fonction de la masse : plus le trou noir est léger, plus il est chaud, plus grand est le nombre de champs qui lui sont accessibles, i.e. dont la masse est inférieure à la température du PBH. Si l'on fait l'approximation $\alpha\approx cte$, ce qui est correct pour les petites masses, on peut écire :

$$M_{init}\approx(3\alpha t + M^3)^{1/3}.$$

Et avec

$$\frac{{\rm d}n}{{\rm d}M}=\frac{{\rm d}n}{{\rm d}M_{init}}\cdot \frac{{\rm d}M_{init}}{{\rm d}M}$$

le spectre aujourd'hui peut s'écrire:

$$\frac{{\rm d}n}{{\rm d}M}\propto M^2{\rm ~for~M}<M_*$$

$$\frac{{\rm d}n}{{\rm d}M}\propto M^{-5/2}{\rm ~for~M}>M_*$$

où $M_* \approx 5\times 10^{14} {\rm g}$ est la masse initiale d'un PBH qui termine sa vie aujourd'hui.

Figure: Terme "quasi-constant" du taux de perte de masse en fonction de la masse du trou noir. Le trou noir peut émettre des particules de plus en plus massives au fur et à mesure que la température augmente. Dessin G. Boudoul.

La figure 1.7 présente, à gauche, le flux d'antiprotons obtenu après convolution avec le spectre de masse des PBH (avant propagation). Comme attendu, les trous noirs dont la masse est supérieure à $M_*$ contribuent peu compte-tenu de ce que leur température est très faible. Les trous noirs de masse très petite contribuent également de façon sous-dominante, en dépit de leur température élevée, à cause de leur faible densité numérique (effet $M^2$ dans le spectre de masse qui traduit physiquement l'accélération de l'évaporation). C'est donc en fait la gamme de masse $10^{12}$ g - $10^{14}$ g qui est essentiellement sondée à l'aide des antiprotons cosmiques. La partie droite de cette figure présente l'effet d'une coupure dans le spectre de masse initial due à la taille finie du rayon de Hubble à la fin de l'inflation. Seuls les trous noirs formés à l'issue de cette phase étant effectivement à prendre en compte (compte-tenu de la dilution exponentielle de ceux formés avant celle-ci), une éventuelle masse de l'horizon trop grande peut conduire à une réduction drastique de la population de PBH. Avec la masse de Hubble à un instant $t$ donnée

$$M\approx\frac{M_{Pl}}{t_{Pl}}t,$$

où $M_{Pl}\approx 10^{-5}$ g et $t_{Pl}approx 10^{-33}$ s sont la masse et le temps de Planck. et le moment $t_{RH}$ de la fin de l'inflation lié à la température de reheating $T_{RH}$ par

$$t_{RH}\approx0.3g^{-1/2}\frac{M_{Pl}}{T^2_{RH}}$$

où $g\approx 100$ est le nombre de degrés de liberté dans l'Univers primordial, on peut évaluer la conséquence d'une valeur de $T_{RH}$ finie sur le spectre de masse. La température critique est de l'ordre de $T_C\approx 10^9$ GeV : au-dessus de celle-ci, la distribution des trous noirs n'est pas significativement affectée dans la zone d'intérêt; en dessous de celle-ci le spectre est exponentiellement supprimé (ce point sera étudié plus en détails dans les chapitres suivants). L'effet d'une possible photosphère QCD au voisinage de l'horizon du trou noir a également été considéré. Il a, en effet, été suggéré [29] qu'au-delà d'une certaine température la radiation de Hawking devrait interagir avec elle-même et constituer un plasma de quarks et de gluons qui affecterait les processus vus à l'infini. Une analyse numérique a été menée [30] en résolvant l'équation de Boltzmann pour laquelle les conditions aux limites sont libres à l'infini et fixées par le spectre de Hawking à $R=R_S$. Il en résulte une réduction drastique du flux à haute énergie mais un effet très limité entre 100 MeV et 1 GeV, c'est-à-dire dans la zone d'intérêt pour la détection.

Figure: Gauche : Flux d'antiprotons primaires avant propagation (unités arbitraires). La courbe (1) correspond à $M\in[M_{Pl},10^{12}{\rm g}]$, la courbe (2) à $M\in[10^{12}{\rm g},10^{13}{\rm g}]$, la courbe (3) à $M\in[10^{13}{\rm g},5\cdot10^{13}{\rm g}]$, la courbe (4) à $M>5\cdot 10^{13}{\rm g}$ et la ligne épaisse est le spectre total. Droite : évolution en fonction de la températeure de reheating. La courbe (1) correspond à $T_{RH}=3\cdot 10^9$ GeV, la courbe (2) à $T_{RH}=10^9$ GeV, la courbe (3) à $T_{RH}=6\cdot 10^8$ GeV, la courbe (4) à $T_{RH}=3\cdot 10^8$ GeV et la ligne épaisse est le spectre sans coupure.

Pour calculer le flux d'antiprotons induits par les trous noirs primordiaux au niveau de la Terre et le comparer avec les données expérimentales, il faut commencer par considerer les antiprotons secondaires. Quand les pertes d'énergie sont négligées, la densité $N^{\bar{p}}$ s'écrit (en état stationnaire) :

$$2 \, h \, \delta(z) \, q^{sec}(r,0,E) = 2 \, h \, \delta(z) \, \Gamma^{ine}_{\bar{p}} \, N^{\bar{p}}(r,0,E)$$

$$+ \left\{ V_{c} \frac{\partial}{\partial z} \, - \, K \left( {\disp... ...ac{\partial}{\partial r}} \right) \right) \right\} \, N^{\bar{p}}(r,z,E) \;\; ,$$ (1.19)

ce qui représente simplement une équation de diffusion ou le $\delta$ de Dirac s'applique aux processus ayant lieu dans le disque galactique supposé mince.

La symétrie cylindrique du problème permet de développer les quantités en séries de Bessel: $J_{0}(\zeta_{i} x)$ ($\zeta_{i}$ est le $i$eme zéro de $J_{0}$ et $i = 1 \dots \infty$). La solution de l'équation (1.19) peut alors s'écrire

$$N^{\bar{p},\;sec}_{i}(z,E) \; = \; {\displaystyle \frac{2 \,... ...{\displaystyle \frac{S_{i}}{2}} \, L \right\}} \right\} \;\; ,$$ (1.20)

où les quantités $S_{i}$ et $A_i$ sont définies par:

$$S_{i} \equiv \left\{ {\displaystyle \frac{V_{c}^{2}}{K^{2}}}... ...oth} \left\{ {\displaystyle \frac{S_{i} L}{2}} \right\} \;\; .$$ (1.21)

En ce qui concerne les primaires (i.e. venant de PBH), à $z=0$ où les flux sont mesurés, la densité s'écrit

$$N^{\bar{p},prim}_{i}(0)= \exp\left( \frac{-V_cL}{2K} \right) \frac{y_i(L)}{A_i\sinh(S_iL/2)}$$

où

$$y_i(L)= 2\int_0^L\exp\left( \frac{V_c}{2K}(L-z')\right) \sinh\left(\frac{S_i}{2}(L-z')\right)q^{prim}_{i}(z')dz'.$$ (1.22)

Le spectre est affecté par des pertes d'énergie quand les $\bar{p}$ interagissent avec la matière interstellaire et par des gains d'énergie quand des processus de réaccélération prennent naissance. Ces variations sont décrites par l'équation intégro-différentielle:

$$A_{i} \, N^{\bar{p}}_{i} \; + \; 2 \, h \, \partial_{E} \l... ... q_{i}^{prim}(E) + q_{i}^{sec}(E) + q_{i}^{ter}(E) \right\},$$ (1.23)

$b^{\; \bar{p}}_{loss}(E)$ représentant les pertes d'énergie. Le terme source $q_{i}^{ter}(E)$ conduit à la composante dite tertiaire qui résulte des interactions inélastiques non annihilantes. La résolution de cette équation est détaillée dans [12] et conduit à :

$$N^{\bar{p},\;tot}(R_{\odot},0,E) \; = \; {\displaystyle \s... ... \left( \zeta_{i} {\displaystyle \frac{R_{\odot}}{R}} \right).$$ (1.24)

où $\zeta_{i}$ est le $i^{eme}$ zéro de la fonction de Bessel. Il convient de prendre garde à ce que le halo de matière noire s'étend bien au delà du halo diffusif mais on peut montrer (cf appendice B de [21]) que la contribution des sources situées à $z>L$ est négligeable. Enfin, différents types de profils de halo de matière noire ont été testés et la solution isotherme (i.e. conduisant au plus petit flux) a été choisie pour demeurer "conservatif".

Figure: Gauche : Flux d'antiprotons primaires après propagation et modulation solaire (au niveau de l'atmosphère donc) pour $\rho _{\odot }^{PBH}=10^{-32}$g cm$^{-3}$ correspondant aux modèles astrophysiques extrêmes. Droite : Données expérimentales de BESS95 (cercles pleins), BESS98 (cercles), CAPRICE (triangles) et AMS (carrés) superposées aux flux calculés pour des densités de PBH entre $5\times 10^{-35}$g cm$^{-3}$ (courbe basse) et $10^{-32}$g cm$^{-3}$.

Après utilisation de ce modèle de propagation, il faut tenir compte de l'effet local du champ magnétique solaire. Celui-ci est traité dans l'approximation du champ de force [31]. Tous les paramètres astrophysiques décrivant la diffusion sont alors variés dans la gamme autorisée par l'étude des noyaux. La figure 1.8 présente, à gauche, les flux obtenus au sommet de l'atmosphère pour les deux cas extrêmes de paramètres diffusifs. Les incertitudes "astrophysiques" s'élèvent donc à environ un ordre de grandeur. Cette valeur est nettement plus importante que pour les antiprotons secondaires, ce qui peut se comprendre de façon intuitive: dans le modèle le plus simple, l'évolution des secondaires est entièrement dictée par le rapport $K_0/L$ alors que les primaires, dont les sources ne sont pas uniquement dans le disque galactique mais aussi dans le halo, dependent directement de $L$. Ce paramètre n'étant pas contraint par l'étude exhaustive des noyaux jusqu'à Z=30 [31], il s'ensuit une dégénérescence sur les spectres primaires.

Figure: Gauche : $\chi ^2$ entre les données expérimentales et les flux théoriques en fonction de la densité locale de PBH pour un halo magnétique d'épaisseur 3 kpc. Les droites horizontales correspondent à des niveaux de confiance de 95% et 99%. Droite : Limite supérieure sur la densité de PBH en fonction de la taille du halo magnétique $L$.

La partie droite de la figure 1.8 présente les flux d'antiprotons primaires (pour un modèle astrophysique moyen) en fonction de la densité de trous noirs primordiaux. Clairement, la courbe la plus basse (i.e. où seuls sont présents des secondaires) est en adéquation satisfaisante avec les données. Il s'agit donc de dériver une limite supérieure. Pour ce faire nous définissons un $\chi ^2$ généralisé qui tient compte des incertitudes expérimentales disymétriques:

$$\begin{array}{ll} \chi^2= &\sum_i \frac{(\Phi^{th}(Q_i)-\... ...h-}(Q_i))^2}\Theta(\Phi^{exp}_i-\Phi^{th}(Q_i))\\ \end{array}$$

où $\sigma^{th+}$ et $\sigma^{exp+}$ ($\sigma^{th-}$ et $\sigma^{exp-}$) sont les erreurs théoriques et expérimentales positives (négatives). Une limite supérieure sur la densité de PBH est calculée pour chaque valeur de taille du halo diffusif ($L$). Les incertitudes théoriques tiennent compte à la fois des aspects astrophysiques et nucléaires ( $p+He \rightarrow \bar{p}+X$ et $He+He \rightarrow \bar{p}+X$). La figure 1.9 présente, à gauche, l'évolution du $\chi ^2$ en fonction de la densité pour $L=3$ kpc et les lignes horizontales correspondent à des niveaux de confiance de 63% et 99%. La partie droite de cette figure donne la limite supérieure sur cette densité à 99% de niveau de confiance en fonction de $L$. Bien-sûr, celle-ci est une fonction décroissante: plus important est le nombre de trous noirs "prisonniers" dans le halo diffusif, plus contraignante est la limite. Entre $L=1$ et $L=15$ kpc (valeurs extrêmes), les limites à 99% varient de $5.3\cdot 10^{-33}~{\rm g} \,{\rm cm}^{-3}$ à $5.1\cdot 10^{-34}~{\rm g} \,{\rm cm}^{-3}$. En terme de densité numérique, cela se traduit par $n_{\odot}^{PBH}=3.9\cdot 10^{-51}~{\rm cm}^{-3}$ pour $L=3$ kpc. Il est important de donner les résultats sous l'une de ces deux formes et non pas comme un taux d'explosion, comme cela est souvent fait, car cette dernière variable n'a pas de réel sens physique: le nombre alors dérivé est totalement dépendant du seuil arbitraire de l'expérience considérée. La limite supérieure ici obtenue peut être traduite d'un point de vue cosmologique (pour la densité en unité de densité critique) en $\Omega_{PBH} \leq 4 \times 10^{-9}$.

Cette valeur très faible permet de contraindre fortement les processus susceptibles de créer des trous noirs et, en particulier, l'amplitude des fluctuations aux petites échelles dans l'Univers primordial. Ce point sera développé dans le chapitre suivant.