Création de paires et absorption du spectre

Pourquoi l'absorption est-elle "exponentielle"?

Dans cette annexe, l'énergie des gammas est notée $E$ et l'énergie des photons infrarouges $\epsilon$.

Figure B.1: Section efficace d'interaction $\gamma _{gamma}+\gamma _{IR} \rightarrow e^{+}e^{-}$ (unités arbitraires) en fonction de $\epsilon$ (keV) pour $E$=1 TeV (courbe de droite) et mutliplication de cette section efficace par la densité de photons infrarouges (courbe de gauche).

Pour une profondeur optique , le flux absorbé s'écrit $\Phi=\Phi_0\times e^{-\tau(E)}$. Cependant cette équation ne décrit pas l'absorption comme une fonction exponentielle de l'énergie tant que la dépendance de $\tau$ en fonction de $E$ n'est pas explicitée. Comme rappelé dans la dernière partie, la section efficace s'écrit

$$\sigma(E,\epsilon,\theta)=1.25\times10^{-25}\left(1-\beta^2\r... ...\right)ln\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)\right) {\rm cm}^2$$

avec $\beta(E,\epsilon,\theta)=\left(1-2\left(mc^2\right)^2/(E\epsilon\left(1-cos\theta\right))\left(1+z\right)^2\right)^{1/2}$, où $\theta$ est l'angle entre les deux photons. La figure B.1 présente cette section efficace pour un gamma de 1 TeV interagissant avec des photons infrarouges selon un angle de $\pi/2$ (dans le référentiel de l'observateur). L'interaction est bien-sûr soumise à un seuil puisque l'énergie dans le centre de masse doit être suffisante pour créer des paires. Il faut donc, pour $E$ fixé: $\epsilon>\frac{2\left(mc^2\right)^2}{E\left(1+z\right)^2\left(1-cos\theta\right)}$, où $z$ est le décalage vers le rouge. Naturellement, ce seuil est d'autant plus faible pour le photon infrarouge que l'énergie du gamma est grande et que la collision est frontale.

Comment $\tau(E,\epsilon)$ s'exprime-t-il en fonction de $\sigma(E,\epsilon,\theta)$? La dépendance exacte est donnée (pour une densité de photons infrarouges de $n(\epsilon)d\epsilon$ cm$^{-3}$) par:

$$\tau(E,z_s)=\frac{c}{H_0}\int_0^{z_s}dz\left(1+z\right)^{1/2}... ...silon_t}^{\infty}d\epsilon n(\epsilon)\sigma(E,\epsilon,\theta)$$

avec $H_0$ la constante de Hubble, $c$ la vitesse de la lumière et $z_s$ le décalage vers le rouge de la source.

Il est possible de relier $\tau(kE,z_s)$ à $\tau(E,z_s)$ pour étudier comment varie la profondeur optique quand l'énergie est multipliée par $k$. Dans l'expression de $\sigma$, les énergies $E$ et $\epsilon$ n'interviennent que par leur produit. La section efficace s'écrit ainsi $\sigma(E,\epsilon,\theta)$= $\sigma(E\epsilon,\theta)$. Pour simplifier le problème, considérons un fond infrarouge constant (hypothèse tout à fait raisonnable) de 10 nW/m$^2$/sr. Puisque c'est la densité volumique d'énergie que l'on fixe, on a en fait $\epsilon^2 n(\epsilon)=cte$.

On peut donc écrire l'expression de $\tau$ en remplaçant $\epsilon_t$ par sa valeur:

$$\tau(E,z_s)=A\int_0^{z_s}dz\left(1+z\right)^{1/2}\int_{-1}^{1... ...}^{\infty}d\epsilon \frac{\sigma(E\epsilon,\theta)}{\epsilon^2}$$

où $A$ est la constante qui "incorpore" tout ce qui ne varie pas ($H_0$, $c$, la normalisation de l'infrarouge...). Le terme $\epsilon^2$ du dénominateur vient de la forme d'infrarouge supposée constante en W/m$^{2}$/sr. Ce qui conduit à:

$$\tau(kE,z_s)=A\int_0^{z_s}dz\left(1+z\right)^{1/2}\int_{-1}^{... ...^{\infty}d\epsilon \frac{\sigma(kE\epsilon,\theta)}{\epsilon^2}$$

Cette dernière intégrale s'écrit alors dans un changement de variable $\epsilon'=k\epsilon$:

$$\tau(kE,z_s)=A\int_0^{z_s}dz\left(1+z\right)^{1/2}\int_{-1}^{... ...ty}d\epsilon' \frac{k^2\sigma(E\epsilon',\theta)}{k\epsilon'^2}$$

On a ainsi montré de façon très simple (dans l'hypothèse physique d'un fond infrarouge tel que $\lambda I_{\lambda}$=cte) que $\tau(kE,z_s) = k\times\tau(E,z_s)$.

Ce résultat prouve que si le flux s'écrit $\Phi=\Phi_0\times e^{-\tau(E)}$, il est soumis à une absorption exponentielle en fonction de l'énergie, ce qui n'est pas vrai a priori pour une distribution spectrale quelconque du CIB. Si l'on considère des formes plus élaborées en $\lambda I_{\lambda}$, il est clair que la dépendance de $\tau(E,z_s)$ en $E$ ne sera plus simplement linéaire comme dans le cas précédemment étudié.

Le point fondamental est de bien noter que la forme mathématique de la section efficace et le fait que le CIB est à peu près constant (en $\epsilon^2n(\epsilon)$ c'est-à-dire qu'il décroît très vite en $n(\epsilon))$ impliquent une absorption exponentiellement décroissante (i.e. $\tau(E,z_s)$ linéairement croissant). Il est intéressant de remarquer que, inversement, $\tau(E,z_s)$ serait une fonction linéairement décroissante de l'énergie si on avait $n(\epsilon)=cte$.

Dépendance en $z_s$, sensibilité à la densité et à la longueur d'onde

Tout d'abord, on peut vérifier que plus la source étudiée présente un grand $z_s$, plus la "coupure" se produit à basse énergie. Effectivement, la coupure du spectre par l'exponentielle d'absorption a lieu quand la profondeur optique devient, pour fixer les idées, supérieure à 1. Mais dans les formules précédentes, il y a aussi une intégrale sur $z$: quand on propage la somme sur une plus grande distance, l'interaction intervient d'avantage et l'énergie à laquelle $\tau(E,z_s)$ devient supérieur à 1 est de plus en plus basse.

Une expérience gamma peut être considérée comme sensible à une absorption infrarouge si la "cassure", c'est-à-dire l'énergie à laquelle la profondeur optique devient plus grande que 1, se trouve dans la gamme de sensibilité du détecteur. Pour CAT, on peut calculer à l'aide des formules précédentes que le détecteur est sensible à un fond CIB compris entre environ 1.6 nW/m$^2$/sr et 79 nW/m$^2$/sr pour une source très proche comme Mrk421 ou Mrk501.

En ce qui concerne la gamme d'énergies infrarouges qu'une expérience gamma est en mesure de sonder, on peut admettre que c'est celle pour laquelle la section efficace d'interaction avec les gammas est importante (en tous cas pour des sources proches). En fait, l'ensemble du spectre infrarouge intervient à toutes les énergies de gammas puisque les intégrales se font jusqu'à l'infini. La figure B.1 montre néanmoins que la section efficace est assez piquée. La longueur d'onde infrarouge à laquelle elle est maximale est $\lambda_{IR}\approx2.4\times E_{\gamma}(TeV)$ $\mu$m. On estime donc que les longueurs d'onde préférentiellement sondées par CAT se trouvent entre 0.7 et 24 $\mu$m. Mais, en-dessous du TeV, la section efficace décroît lentement avec l'énergie du photon IR (au-delà du maximum) et cet intervalle est en fait arbitraire. A 600 GeV, par exemple, la section efficace n'a diminué que de 30 % pour une énergie infrarouge 3 fois supérieure à l'énergie qui maximise l'interaction. Ce qui signifie que s'il existe bien-sûr une borne inférieure (gamma de 15 TeV en collision frontale $\rightarrow$ $\epsilon_t \approx 1.7\times10^{-2}$eV), les photons infrarouges interviennent de façon non négligeable jusqu'à des énergies très importantes, c'est l'effet conjugué de l'angle qui peut être faible et de la section efficace qui décroit assez lentement. La notion de fenêtre de sensibilité IR n'est pas clairement définie et il est de plus nécessaire de supposer une forme de l'ensemble du spectre qui ne peut être que modifiée par un facteur d'échelle pour une observation gamma.