Convolution des erreurs avec un spectre en loi de puissance

Soit un spectre physique différentiel

$$\Phi =\frac{K}{E^{\gamma}}$$

où $\Phi(E)dE$ est le nombre de gammas par unité de surface et par unité de temps dans l'intervalle d'énergie $(E,E+dE)$, K une constante et $\gamma$ l'indice spectral différentiel.

La variable $\lambda'=ln(E')$, où $E'$ est l'énergie mesurée, est distribuée gaussiennement autour de $\lambda=ln(E)$, où $E$ est l'énergie vraie, avec un écart type $\sigma$. La conservation des probabilités permet décrire la loi en $E'$ ou en $\lambda'$ de façon formellement identique. La distribution connue (gaussienne) étant celle de $\lambda'$, le terme correspondant s'écrit $d\lambda' \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(\lambda-\lambda')^2}{2\sigma^2}}$. Il reste à sommer sur la variable qu'on ne connait pas, c'est-à-dire $E$, distibuée en loi de puissance. Soit:

$$d\lambda' \int \frac{K}{E^{\gamma}} dE \frac{e^{-\frac{(\lambda-\lambda')^2}{2\sigma^2}}}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$$

Ce qui s'écrit dans les notations utilisées

$$\frac{K d\lambda'}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \int e^{-\lambda \gam... ...ac{(\lambda-\lambda')^2}{2\sigma^2}-\lambda(\gamma-1)} d\lambda$$

Le binôme dans l'exponentielle vaut (au signe près):

$$\frac{(\lambda-\lambda')^2}{2\sigma^2} + \lambda(\gamma-1) = ... ...gamma-1) \left( 2\lambda' - \sigma^2 (\gamma-1) \right) \right)$$

Et après intégration de la gaussienne correspondant au premier terme, on obtient:

$$Ke^{-(\gamma-1)(\lambda'-\frac{\sigma^2(\gamma-1)}{2})} d\lam... ... = \frac{K}{E'^\gamma} dE' e^{\frac{(\gamma-1)^2 \sigma^2}{2}}$$

puisque $dE'=e^{\lambda'}d\lambda'$. Le spectre en énergie mesurée est donc:

$$\Phi = \frac{K}{E'^\gamma} e^{\frac{(\gamma-1)^2 \sigma^2}{2}}$$