Univers primordial [45]

Il s'agit ici d'utiliser les limites supérieures précédemment obtenues sur la densité de trous noirs afin de dériver des contraintes cosmologiques. Ces dernières concernent des échelles pour lesquelles aucune autre observable n'est aujourd'hui envisagée et apportent une information nouvelle forte sur les fluctuations de l'Univers très primordial. Pour étudier ce que l'absence (ou l'extrême rareté : $\Omega_{PBH}<3.3\times 10^{-9}$) de petits trous noirs peut nous révéler sur le Cosmos, il faut s'intéresser aux détails du mécanisme de formation.

Le modèle cosmologique standard repose aujourd'hui sur une brève phase d'inflation durant laquelle le facteur d'échelle de l'Univers croît exponentiellement. Cette image est motivée par la résolution d'un certain nombre de problèmes liés au modèle classique du Big-Bang (par exemple l'isotropie du fond de rayonnement cosmologique - CMB - sur des échelles qui semblent pourtant causalement décorrélées, la platitude de l'Univers, l'augmentation considérable d'entropie, l'homogénéité à grande échelle, l'absence de monopôles magnétiques, etc.) mais repose également sur de solides bases de microphysique (brisure spontanée de symétrie pour un champ scalaire évoluant lentement à partir d'une position de ``faux vide" vers le minimum autour duquel se produit la désexcitation dans le modèle de new inflation. En fait les modèles de type chaotique inflation sont plus généraux encore puisque c'est la valeur du champ lui-même qui entraîne l'inflation.). Avec la réserve toutefois que le champ en question n'a pas encore été expérimentalement mis en évidence (ni aucun champ scalaire fondamental d'ailleurs) ! Les modèles d'inflation permettent de générer des spectres de fluctuations qui rendent convenablement compte des structures dans l'Univers contemporain. Ils sont généralement proches du type Harrison-Zeldovich, c'est-à-dire invariants d'échelle (ce qui correspond à $P(k)\propto k^n$ avec $n=1$ et $k$ le nombre d'onde). La production de trous noirs primordiaux étant associée aux très petites échelles et donc aux grands nombres d'onde, seuls les spectres bleus, i.e. avec $n>1$, peuvent produire une quantité appréciable de trous noirs primordiaux lorsqu'ils sont normalisés aux valeurs connues (sur le CMB ou les grandes structures). L'idée globale de la production des petits trous noirs est d'augmenter, quel que soit le moyen, la puissance aux petites échelles. Réciproquement, l'absence de petits trous noirs est une façon très efficace d'exclure les modèles qui généreraient un $P(k)$ important à grand $k$. Les dernières études combinées des expériences de mesure du CMB (en particulier Boomerang [46], Maxima [47], Archeops [48] et, bien-sûr, WMAP [126]) montrent que l'indice spectral $n$ est très voisin de 1 : $n=1.02 \pm 0.03$ ([50]). Extrapolée jusqu'aux très grands $k$ cette valeur ne conduit qu'à une densité extrêmement faible de trous noirs primordiaux (il faudrait $n\approx 1.3$ pour une contribution importante des PBH à la matière noire). Il est d'ailleurs très intéressant de noter que, il y a deux ans, la limite supérieure sur $n$ venant des trous noirs primordiaux (entre 1.24 [51] et 1.30 [52] selon les modèles) était la meilleure disponible et se trouvait plus contraignante que les mesures de COBE. Néanmoins, il est tout-à-fait naturel de supposer que le spectre ne demeure pas une simple loi de puissance $P(k)\propto k^n$ avec $n=cte$ sur des échelles si éloignées et les trous noirs primordiaux demeurent alors l'unique voie d'accès à laquelle on peut aujourd'hui penser pour accéder aux petites échelles (avec les ondes gravitationnelles primordiales dont la détection n'est pas envisagée dans les cinquante prochaines années). En particulier, le potentiel du champ d'inflaton peut présenter une échelle caractéristique liée, par exemple, aux énergies des théories de grande unification (GUT). Ceci conduit naturellement à une brisure d'invariance d'échelle (BSI) dans le spectre primordial. On s'intéresse ici plus spécifiquement au modèle développé par A. Starobinsky [53] où un saut dans la dérivée du potentiel interrompt le processus de roulement lent du champ et entraîne la création de particules et - éventuellement - de trous noirs primordiaux. Le spectre peut alors être calculé analytiquement et reproduit de façon convaincante un certain nombre d'observables (dont la présence possible d'une bosse dans le spectre de puissance de la matière ordinaire) [54]. Il est alors simplement dépendant de deux paramètres : la hauteur de saut $p$ et la position $k_s$ de l'échelle caractéristique. Dans une telle démarche, la production de trous noirs a manifestement lieu autour de cette échelle : il est donc plus intéressant de considérer ici les trous noirs formés par mécanisme d'effondrement critique [55]. Comme dans de nombreux phénomènes de physique statistique, les masses résultantes sont alors données par une relation du type $M_{PBH} \propto (p-p_c)^{\gamma}$ où $p$ est un paramètre de contrôle du système, $p_c$ est la valeur critique et $\gamma\approx 0.36$ est l'exposant (universel) du spectre.

Ce paragraphe présente comment le modèle inflationnaire BSI permet de calculer les grandeurs nécessaires à l'évaluation du spectre de masse des trous noirs, établit explicitement leur densité et montre comment les contraintes observationnelles précédentes imposent des conditions strictes sur les paramètres du modèle.

Un trou noir primordial se forme lorsque le contraste de densité $\delta$ moyenné sur un volume dont la taille est égale au rayon de Hubble ($R_H=H(t)^{-1}$) satisfait $\delta_{min} < \delta < \delta_{max}$, la masse du trou est alors égale à la masse de l'horizon $M_H$, i.e. la masse contenue dans un volume de Hubble. La valeur minimale $\delta_{min}$ se situe, selon les modèles, entre 1/3 et 0.7 [56]: elle est dictée par le fait que la densité doit être suffisante pour la création d'un trou noir (l'amplitude de la fluctuation doit surmonter la pression de Jeans).

Chaque échelle physique $\lambda(t)$ est définie par un nombre d'onde $k$ qui évolue avec le temps selon $\lambda(t)=2\pi a(t)/k$ où $a(t)$ est le facteur d'échelle de l'Univers. Pour une échelle donnée, le temps de ``croisement de l'horizon" est conventionnellement donné par $t_k$ tel que $k=a(t_k)H(t_k)$ (on retrouve en effet $\lambda(t_k) \sim H^{-1}(t_k)$ i.e. au rayon de Hubble). Il s'agit du temps auquel l'échelle considérée ré-entre dans le rayon de Hubble (après en être sortie durant l'inflation) : compte-tenu de ce qu'à l'issue de l'inflation le facteur d'échelle croît moins vite que l'horizon, ceci finit nécessairement par avoir lieu. C'est à cet instant $t_k$ qu'un trou noir de masse voisine de $M_H(t_k)$ peut se former : les différentes ``zones" de la fluctuation sont en contact causal et l'effondrement peut se produire. Il y a alors une correspondance biunivoque entre $\lambda(t_k)$, $M_H(t_k)$ et $k$. Il est aussi possible d'établir cette correspondance à n'importe quel autre temps $t_i$ et de relier les quantités physiques à l'instant $t_i$ à leurs valeurs à $t_k$.

Si les fluctuations primordiales obéissent à une statistique gaussienne, la densité de probabilité pour le contraste de densité $\delta$ moyenné sur une sphère de rayon $R$ est donnée par :

$$p(\delta)=\frac{1}{\sigma(R)\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\delta ^2}{2\sigma ^2 (R)}},$$

où la variance $\sigma^2(R)=\left< \left( \frac{\delta M}{M} \right)^2_R \right>$ peut se calculer en introduisant $\delta(x)$ [57], la transformée de Fourier inverse du contraste de densité $\delta_k$. On écrit alors (par unité de volume) :

$$\sigma^2=<\delta ^2 (x)> = \sum_{{\bf k,p}}<\delta _k \delta_p^*> exp(i({\bf k - p}) \cdot {\bf x}) =\sum_{{\bf k}}\sigma_k^2$$

compte-tenu de la distribution gaussienne qui conduit à $<\delta_{{\bf k}} \delta_{{\bf p}}^* > = \eta_{{\bf k}{\bf p}} \sigma_{{\bf k}}^2$ où le symbole de Kronecker est ici noté $\eta$ par souci de clarté. Ce qui permet d'écrire:

$$<\delta ^2 (x)> = \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3{\bf k}\sigma_k^2... ...c{k^2dk}{2\pi ^2}=\frac{1}{2\pi ^2} \int_0^{\infty} k^2 P(k) dk$$

avec $P(k)\equiv < \vert \delta_k \vert^2 >$. Si l'on veut maintenant s'intéresser au ``filtrage" par une échelle caractéristique $R$, on peut écrire:

$$\sigma^2(R)=\frac{1}{2\pi ^2} \int_0^{\infty} k^2 W^2_k P(k) dk$$

où $W_k$ est la transformée de Fourier d'une fonction ``fenêtre" $W(y)$ qui est voisine de 1 pour $\vert y\vert<R$ et de 0 pour $\vert y\vert>R$. Si l'on choisit

$$W({\bf y})=exp\left( -\frac{y^2}{2R^2} \right)$$

on obtient après quelques développements :

$$W_k=\frac{3}{(kR)^3}(sin(kR)-kRcos(kR)).$$

La démarche ici présentée se fonde sur ce formalisme et tient compte de ce que le spectre de puissance doit être évalué correctement, c'est-à-dire à l'aide d'une fonction de transfert qui décrit son évolution [58]. La densité de trous noirs primordiaux est ainsi calculée de façon exacte et normalisée aux fluctuations du fond cosmologique, ce qui permet de traduire les contraintes observationnelles en contraintes physiques sur le modèle. Nous présentons ainsi les flux d'antiprotons propagés dans la Galaxie et, en demandant qu'ils demeurent inférieurs (moyennant, bien-sûr, une étude statistique sur les erreurs) aux spectres mesurés, nous obtenons une limite supérieure sur la fraction de masse de l'Univers ayant subi un effondrement en trou noir. La valeur très faible de celle-ci ( $\approx 10^{-27}$), et donc très intéressante, obtenue à des échelles de l'ordre de $10^{-15}$ g est nettement plus petite que la valeur de $\Omega_{PBH}$ donnée dans les chapitres précédents. Ceci simplement parce que la mesure est ici obtenue directement au moment de la formation, dans un Univers largement dominé par le rayonnement et dans lequel les trous noirs ont donc été nettement moins dilués que les photons environnants (facteur $1/R$ supplémentaire pour les modes électromagnétiques à cause du redshift). Nous donnons ensuite la traduction de ces résultats en termes d'amplitude de la brisure d'invariance dans le spectre de fluctuations primordial (pour différents modèles de formation et différentes valeurs de la constante cosmologique) et montrons qu'il ne peut y avoir trop de puissance à ces échelles.

Un étude quantitative des contraintes cosmologiques associées à l'absence de détection de trous noirs primordiaux requiert un calcul précis du spectre de masse des trous noirs. Nous nous plaçons donc ici dans le cadre d'une formation par processus quasi-critique [59] en présence d'une échelle caractéristique dans le spectre primordial [60]. La formation a ainsi lieu à des masses $M$ voisines de $M_{peak}\equiv M_H(t_{k_{peak}})$, la masse de l'horizon au temps $t_{k_{peak}}$ de croisement de l'horizon - le temps $t_k$ étant défini par $k=a(t_k)H(t_k)$. La formation suit alors la loi [59]

$$M = \kappa~M_H ( \delta - \delta_c )^{\gamma}~,$$

où $\kappa$ est la normalisation, $\delta_c$ un paramètre d'ordre et $\gamma$ l'exposant critique. Cela conduit à [60] :

$$\frac{d\Omega_{PBH}}{d\ln M}\equiv \frac{d \Omega_{PBH}(M,t_{... ... \frac{M}{M_{peak}}\right )^{1+\frac{1}{\gamma}} p[\delta(M)].$$

Si l'on identifie le maximum par $M_{max}=\epsilon M_{peak}$, cela se traduit par

$$\frac{d \Omega_{PBH}}{d\ln M} = \epsilon^{-\frac{1}{\gamma}}~... ...left ( \frac{M}{M_{peak}}\right )^{\frac{1}{\gamma}}\Biggr ]~,$$

$\beta (M_{peak})$ donne la probabilité qu'une région de taille comobile $R=(H^{-1}/a)\vert _{t=t_{k_{peak}}}$ ait un constraste de densité moyenné au temps $t_{k_{peak}}$ dans la gamme $\delta_c\leq\delta\leq\delta_{max}$

$$\beta(M_{peak})= \int_{\delta_c}^{\delta_{max}} p(\delta, t_{k_{peak}})~\textrm{d}\delta~.$$

On en déduit alors simplement que :

$$\frac{d^2 n_i}{dM_i~dV_i} =\frac{3M^2_p}{32\pi}~\left(\frac{... ..._{peak}}\right)^4 x^{-2} ~\frac{d \Omega_{PBH}}{d\ln M}(x)~,$$

où $M_p$ est la masse de Planck et $x\equiv \frac{M}{M_{peak}}$. L'indice $i$ (pour "initial") signifie que l'on évalue ces quantités au moment de la formation des trous noirs. Attention, la masse $M_{peak}$ correspond au maximum de la variance $\sigma_H(t_k)$ et pas au maximum du spectre primordial lui-même. Les paramètres $\gamma$ et $\epsilon$ sont donc relatifs à la formation des PBH tandis que $M_{peak}$ et $\beta (M_{peak})$ se rapportent au spectre primordial. Pour des fluctuations primordiales gaussiennes avec une distribution $p[\delta]$, on a donc, comme expliqué précédemment :

$$p(\delta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}~\sigma (R)}~ e^{-\frac{\del... ...\frac{1}{2\pi^2} \int_0^{\infty}dk ~k^2 ~W^2_{TH}(kR) ~P(k)~,$$

où $\delta$ est le contraste de densité moyenné sur sphère de rayon $R$ et $\sigma^2(R) \equiv \Bigl \langle \Bigl ( \frac{\delta M}{M} \Bigr )_R^2 \Bigr \rangle$ est calculé avec la fonction fenêtre décrite précédemment. Généralement, on appelle spectre primordial le spectre aux échelles "au-delà" de l'horizon à l'issue de l'inflation. Dans ce cas, la dépendance d'échelle des modes considérés n'est pas affectée par l'évolution cosmologique. Néanmoins, pour des échelles "dans" l'horizon, cela n'est plus juste et il faut tenir compte de ce que:

$$P(k,t)= \frac{P(0,t)}{P(0,t_i)}~P(k,t_i)~T^2(k,t)\; , \quad T(k\to 0,t)\to 1~,$$

où $t_i$ est un temps initial hors du rayon de Hubble ($k<aH$). Ainsi, le spectre $P(k)$ pour les échelles dans l'horizon doit comporter une convolution avec la fonction de transfert au temps $t_k$. Au moment de la ré-entrée dans l'horizon durant l'époque de domination par le rayonnement, on a ainsi :

$$\sigma_H^2(t_{k})=\frac{8}{81\pi^2} \int_0^{\frac{k_e}{k}} x^... ... W^2_{TH}(x)~\textrm{d}x~,~~~~~~~~~~t_{k_e}\ll t_k\ll t_{eq}~,$$

où la fonction de transfert peut être calculée analytiquement :

$$T^2(kx,t_k)\equiv \Biggl[\frac{9}{x^2}\left(\frac{\sin(c_s x)... ...]^2= W^2_{TH}(c_sx)= W^2_{TH}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)~,$$

où $F(k)\equiv \frac{81}{16} k^3 P(k,t_k)=\frac{81}{8} \pi^2 \delta^2_H(k,t_k)$, $c_s=1/\sqrt{3}$. Finalement, $\beta (M_{peak})$ est donné par

$$\beta(M_{peak})\approx \frac{\sigma_H(t_{k_{peak}})}{\sqrt{... ...delta_c} e^{-\frac{\delta_c^2}{2 \sigma_H^2(t_{k_{peak}})}}~,$$

avec $\sigma_H^2(t_{k_{peak}})\equiv \sigma^2(R)\big\vert _{t_{k_{peak}}}\equiv \sigma^2(M_{peak})$, et l'on prend $\delta_c=0.7$.

Pour un spectre de fluctuations primordiales d'origine inflationnaire normalisé aux grandes échelles en utilisant le CMB, les quantités $M_{peak}$ et $\beta (M_{peak})$ peuvent être calculées numériquement. Les valeurs de $\gamma$ et $\epsilon$ sont, quant-à elles, obtenues par simulation pour le spectre particulier considéré.

Figure: Valeur maximale possible de $\beta (M_{peak})$ en fonction de $M_{peak}$ avec $\gamma =0.35$ et $\epsilon =0.5,~1,~2$. La contrainte gravitationnelle est calculée de façon cohérente dans le même formalisme. La contrainte venant des antiprotons est nettement meilleure dans la région $M_*\lesssim M_s\lesssim 100M_*$.

Figure: Valeur minimale du paramètre inflationnaire $10^4\times p$ en fonction de $log(M_s/g)$ où $M_s\equiv M_H(t_{k_s})$ et contrainte gravitationnelle (lignes droites). Pour des valeurs données de ( $\epsilon ,~\Omega _{\Lambda ,0}$), la région sous la courbe correspondante est exclue. Les trois courbes pleines en bas ( $\epsilon =2,~1,0.5$, de gauche à droite) sont les contraintes observationnelles pour $\Omega _{\Lambda ,0}=0.7$, la courbe pleine en haut correspond à $\Omega _{m,0}=1$ et $\epsilon =1$. Les deux courbes en pointillés (chacune pour $(1,~0.7)$) montrent l'amélioration que les antideutérons apporteraient (en bas avec AMS, en haut avec GAPS).

Une fois les paramètres du modèle ainsi fixés et les observables calculées, nous en déduisons le spectre de PBH aujourd'hui :

$$\frac{d^2n}{dMdV_i}(M)=\frac{M^2}{(3\alpha t + M^3)^{2/3}}\cdot\frac{d^2n_i}{dM_idV_i} ((3\alpha t + M^3)^{1/3})~,$$

et évaluons le terme source d'antiprotons correspondant

$$\frac{d^3 N_{\bar{p}}^{\odot}}{dEdtdV}(E) = \int_{0}^{\infty}... ...c{a(t_0)}{a(t_{form})}\right)^{-3}\frac{\rho_{\odot}}{<\rho_M>}$$

où le rapport des facteurs d'échelles entre le temps de formation et le temps présent est ajouté pour tenir compte de la dilution consécutive à l'expansion, $\rho_{\odot}$ est la densité locale et $<\rho_M>$ est la densité moyenne de matière. Ces derniers termes permettent de tenir compte de la sur-densité locale. Le terme d'émission est calculé avec la méthode exposée au chapitre précédent :

$$\frac{{\rm d}^2N_{\bar{p}}}{{\rm d}E{\rm d}t}= \sum_j\int_{Q=... ...{-1} \times\frac{{\rm d}g_{j\bar{p}}(Q,E)}{{\rm d}E}{\rm d}Q~.$$

Les antiprotons ainsi produits sont ensuite propagés par le modèle présenté dans le premier chapitre de ce ménoire. Les erreurs astrophysiques et nucléaires sont prises en compte, ainsi que la réaccélération diffusive, le terme secondaire et le terme tertiaire. Pour chaque jeu de paramètres inflationnaires, le flux généré au niveau de l'atmosphère terrestre est comparé aux mesures et une analyse par maximum de vraisemblance permet d'en déduire une limite supérieure présentée sur la figure 2.2. On voit que pour des masses de l'ordre de $M_{peak}\approx10^{15}$ g, la valeur maximale de la fraction de masse de l'Univers ayant formé des trous noirs est extrêmement petite : $\beta<10^{-26}$. Les PBH, en tant que sonde cosmologique, permettent donc d'exclure une puissance importante (et même, en fait, très peu importante) sous forme de fluctuations présentant un contraste de densité voisin de 0.5. Ils sont, sans aucun doute, parmi les objets de l'Univers dont on est en mesure de contraintre la densité avec la plus grande sensibilité (précisément parce qu'ils ne sont pas noirs du tout !). Cette limite très contraignante sur $\beta$ peut alors être traduite en une limite sur le paramètre de brisure d'invariance d'échelle $p$ du spectre primordial (par définition, le rapport des puissances des grandes aux petites échelles vaut $p^2$). Il est borné inférieurement à $10^{-3}$ pour des masses caractéristiques $M_s\approx10^{15}$ g. Evidemment, cette limite est loin de la valeur attendue dans un modèle simple de type Harrison-Zeldovitch et donc assez peu étonnante. Mais elle demeure l'unique sonde aujourd'hui imaginée pour contraindre la puissance aux petites échelles dans l'Univers pimordial.