Modèle analytique et méthode générale

La simple caractérisation des images à l'aide des paramètres de Hillas fondamentaux ne tient pas compte d'un paramètre essentiel: l'asymétrie du profil et sa dépendance avec la distance du "pied de gerbe" (c'est-à-dire le point d'arrivée extrapolé du gamma initial sur le terrain). La méthode employée consiste à comparer l'image obtenue à une base de données d'images théoriques. Celles-ci sont calculées à paramètre d'impact, énergie et angle zénithal données. Pour ce faire, il est possible d'évaluer les images attendues directement à partir des simulations [66] ou par l'intermédiaire d'un modèle analytique développé par S. Lebohec [40]. C'est cette seconde démarche qui est appliquée pour analyser les données de CAT. La structure de l'image Tcherenkov résulte à la fois du développement de la cascade de particules secondaires, de l'extension angulaire, des propriétés géométriques du rayonnement et des caractéristiques techniques du détecteur. Le but de cette approche est double:

• permettre une très bonne réjection hadronique en estimant la qualité de l'ajustement
• donner une reconstruction précise de l'énergie dans le cas où la gerbe analysée est électromagnétique

La méthode doit également permettre de retrouver la direction d'arrivée des gammas sans hypothèse sur la position de la source. Cette capacité qui n'était jusqu'alors reconnue qu'aux systèmes stéréoscopiques [67] a été établie sur les simulations mais n'est pas utilisée pour les résultats présentés dans ce mémoire (pour lesquels les coordonnées des objets étudiés étaient connues).

Le modèle analytique utilisé a été initialement développé par M. Hillas [65]. Un certain nombre des formules semi-empiriques utilisées ont néanmoins été modifiées de façon à assurer une correspondance fine entre l'image calculée et les simulations. La figure 7.1 montre le bon accord obtenu entre les distributions de lumière simulées et calculées pour différents paramètres d'impact. En particulier, les maxima secondaires attribués aux cas où les électrons suivant l'axe (c'est-à-dire les plus nombreux) "voient" le télescope exactement sous l'angle Tcherenkov, initialement présents dans le modèle [40], disparaissent après révision de la méthode d'intégration numérique. Le maximum principal est en revanche dû au nombre de particules dans le développement de la cascade et sa position demeure inchangée.

Figure 7.1: Quantité de lumière en photoélectrons par centième de degré en fonction de la distance longitudinale à la source, pour différents paramètres d'impact. Les traits pleins réguliers et les pointillés correspondent au modèle (avant et après discrétisation) et les traits pleins plus "chaotiques" aux simulations.

Les modèles d'image ont été calculés à 11 angles zénithaux différents: 0, 18, 25, 30, 36, 41, 45, 49, 53, 56 et 60 degrés. Dans le traitement des données, les modèles correspondant à l'angle zénithal dont le cosinus est le plus proche de celui de l'événement sont utilisés.

Grâce à cette modélisation des images, il est donc possible de définir une charge théorique attendue dans chaque pixel de la caméra par intégration de la lumière sur l'angle solide couvert. Cette valeur dépend:

• de l'énergie $E$ du gamma
• du paramètre d'impact $d$ du gamma
• de l'azimut $\phi$ de la cascade par rapport à la source visée
• de l'abscisse de la source dans la caméra $S_x$
• de l'ordonnée de la source dans la caméra $S_y$

La qualité de l'ajustement du modèle par rapport à l'image réelle est évaluée par une fonction de type $\chi ^2$ définie par:

$$\chi^2=\sum_i\frac{\left(Q_i^{theo}-Q_i^{exp}\right)^2}{\kappa\left(B+\frac{1}{2}(Q_i^{exp}+Q_i^{theo})\right)}$$

où et $Q_i^{exp}$ sont respectivement les charges théoriques et expérimentales du $i^{\\lq eme}$ pixel, $B$ le bruit de fond de ciel attendu et $\kappa$ un facteur constant (choisi pour tenir compte du bruit électronique et du développement de la cascade). Il est important de noter qu'au sens mathématique du terme cette fonction n'a pas rigoureusement un comportement de $\chi ^2$, ce qui est tout à fait prévisible puisque les erreurs ne sont pas gaussiennes. Le nombre de degrés de liberté dépend de plus de la valeur des paramètres à estimer au travers du nombre de pixels touchés attendu. Mais le point fondamental consiste à disposer d'une variable fortement discriminante et la forme exacte de sa distribution de probabilité est secondaire. La somme se fait sur tous les pixels dont la valeur est supérieure à un photoélectron.

Par rapport aux études initiales, ce $\chi ^2$ prend en compte le caractère capacitif des liaisons entre les photomultiplicateurs et l'intégration par les ADC. La présence de condensateurs assure effectivement une charge transmise nulle en moyenne pour des signaux aléatoires. Il s'ensuit que le bruit de fond de ciel ne doit pas apparaître explicitement au numérateur mais doit en revanche être pris en compte comme terme de fluctuation supplémentaire. La valeur numérique est calculée pour chaque acquisition (de 30 minutes) en utilisant l'ensemble des pixels de la caméra pour lesquels la qualité de l'ajustement de la fonction (présentée dans la partie 2) est satisfaisante et n'ayant pas été soumis à l'éclairement d'une étoile brillante. C'est donc le bruit de fond de ciel, moyenné sur le temps et sur l'ensemble de la matrice de photomultiplicateurs, qui est attribué à chaque terme du $\chi ^2$.

La figure 7.2 présente les variations du $\chi ^2$ pour deux paramètres laissés arbitrairement libres (le paramètre d'impact et une quantité proportionnelle au logarithme de l'énergie). La nappe obtenue montre l'existence d'un minimum unique correspondant à la valeur de convergence. Ce comportement se retrouve dans toutes les coupes.

Figure 7.2: Valeur du $\chi ^2$ en échelle logarithmique pour deux paramètres libres dans la minimisation: le paramètre d'impact et le logarithme de l'énergie (à une constante multiplicative près).

De façon à s'affranchir du nombre variable de degrés de liberté d'un évènement à l'autre, la probabilité de $\chi ^2$ est utilisée comme variable discriminante pour séparer les gammas des hadrons. Ce choix permet de simplifier grandement l'analyse: les diverses coupures sur des paramètres corrélés entre eux habituellement mises en oeuvre (analyse sur les moments de Hillas) sont remplacées par une unique coupure sur une variable incluant toute l'information. En fonction de la nature de l'étude, la valeur peut être choisie arbitrairement pour maximiser la signification statistique ou simplement le signal résultant.

Figure 7.3: Distribution de probabilité de $\chi ^2$ pour des gammas simulés à 600 GeV dont le paramètre d'impact est inférieur à 60 mètres (zone sensible à la différence entre $\chi ^2$ et $\chi '^2$). Partie supérieure: avec le $\chi ^2$ initial. Partie inférieure: avec $\chi '^2$ tenant compte des variations de fluctuation avec $d_{imp}$.

Pratiquement, la probabilité de $\chi ^2$ n'est pas exactement calculée sur la variable précédemment définie. Dans un premier temps, la valeur du terme multiplicatif au dénominateur a été choisie à $\kappa=2.7$ pour tenir compte des fluctuations négligées et obtenir une distribution relativement plate sur les gammas. Ensuite, une nouvelle grandeur est définie par

$$\chi'^2=\frac{\chi^2}{1+1.8\times e^{-\frac{d_{imp}}{22}}}$$

où $d_{imp}$ est la valeur ajustée du paramètre d'impact par minimisation de $\chi ^2$. Cette forme est suggérée par la distribution exponentiellement décroissante (jusqu'à 1) du $\chi ^2$ par degré de liberté ( $\chi^2/(d.o.f.)$) en fonction de $d_{imp}$. La nouvelle définition permet donc de recentrer $\chi'^2/(d.o.f.)$ sur 1, indépendamment du paramètre d'impact. La variable de coupure est alors $p(\chi'^2)$ dont la distribution, donnée sur la figure 7.3, est mieux adaptée car elle intègre les variations du nombre de photons reçus avec la distance au pied de gerbe.

La figure 7.4 donne la comparaison des distribution de probabilité pour des gammas simulés en loi de puissance de la nébuleuse de Crabe entre 100 GeV et 10 TeV et des hadrons réels.

Dans la suite, pour ne pas alourdir la présentation, on utilisera toujours $p(\chi^2)$ pour désigner la probabilité de $\chi '^2$.

Figure 7.4: Distribution de probabilité de $\chi '^2$ pour des gammas simulés et des hadrons réels. Une coupure à 0.2, utilisée dans l'analyse, conserve 66% des gammas et 20% des hadrons, une coupure à 0.5 conserve 18% des gammas et 3% des hadrons.