Effet Tcherenkov

Lorsqu'une particule chargée traverse un milieu transparent diélectrique avec une vitesse proche de celle de la lumière (plus exactement supérieure à $c/n$ où $n$ est l'indice de réfraction local), les atomes au voisinage de la trajectoire sont distordus. Cet effet se manifeste dans les couches électroniques et induit l'apparition effective de petits dipôles. Pour une particule très rapide, le champ de polarisation est dissymétrique et provoque l'apparition d'une émission radiative tout au long de la trajectoire. Lorsque la condition $\beta>1/n$ (avec $\beta=v/c$) est vérifiée, les interférences peuvent devenir constructives et un front d'onde cohérent se forme à un angle d'émission $\theta$ défini par:

$$cos\theta=\frac{1}{\beta n}$$

L'angle maximum d'émission pour des particules ultra-relativistes est ainsi donné par

$$\theta_{max}=Arccos\left(\frac{1}{n}\right)$$

Pour un milieu homogène et isotrope, l'émission présente une symétrie axiale et les radiations se répartissent sur une surface conique de demi-angle au sommet $\theta$.

Le taux de production de radiation $W$ par unité de longueur $l$ s'écrit [55]:

$$\frac{dW}{dl}=\frac{e^2}{c^2}\int_{\beta n>1}\left(1-\frac{1}{\beta^2n^2}\right) \omega d\omega$$

où $e$ est la charge de l'électron et $\omega$ la pulsation. La distribution spectrale résultante est typiquement maximale entre le bleu et l'UV. On peut montrer par un traitement quantique détaillé [56] [57] que l'énergie perdue par la particule suite à l' effet Tcherenkov est tout à fait négligeable devant l'énergie perdue par ionisation ou par effet bremsstrahlung.

Blackett [58] a été le premier à suggérer que les rayons cosmiques très énergétiques pourraient produire une certaine quantité de rayonnement Tcherenkov en pénétrant dans l'atmosphère terrestre. Jelley [59] a montré qu'au premier ordre les angles maxima et les énergies minima pouvaient s'écrire

$$\theta_{max}\approx\sqrt{2n}{\rm ~et~}E_{min}\approx\frac{m_0c^2}{\sqrt{2n}}$$

où $m_0$ est la masse au repos de la particule. Il apparaît ainsi que le seuil croît et que l'angle d'émission décroit avec l'altitude. Au niveau de la mer, on obtient les énergies de seuil suivantes (table 6.1):

Table 6.1: Seuil de production de lumière Tcherenkov au niveau de la mer.

Particule	Seuil
électrons	21 MeV
muons	4.4 GeV
protons	39 GeV

Aux énergies qui nous intéressent, la contribution principale à la lumière Tcherenkov d'une cascade cosmique dans l'atmosphère provient des électrons. L'angle d'émission est de l'ordre de 1.3 degré au niveau de la mer.

Pour une bande de longueurs d'onde comprises entre $\lambda_1$ et $\lambda_2$, le taux de production de photons Tcherenkov maximum dans une atmosphère dont l'indice de réfraction varie exponentiellement ( $n\approx1+2.9\times10^{-4}e^{-h/h_0}$) est donné par:

$$\frac{dN}{dx_\nu}=4\pi\alpha\frac{h_0\eta_0}{x_0}\left(\frac{1}{\lambda_2}- \frac{1}{\lambda_1}\right)$$

où $x_\nu$ est la profondeur atmosphérique à une hauteur $h$, $x_0$ la profondeur atmosphérique au niveau de la mer ($\approx 10000$ kg.m$^{-2}$), $h_0$ la hauteur d'échelle (= $RT/mg\approx7.1$km) et $\eta_0$ l'indice de réfraction en excès par rapport à 1 au niveau de la mer ( $\approx 2.9\times10^{-4}$). Cela conduit à un taux de l'ordre de 34 photons.kg$^{-1}$.m$^{-2}$ entre 300 et 660 nm.

L'absorption, la diffraction et la diffusion dans l'atmosphère modifient les caractéristiques de l'émission Tcherenkov mais l'effet dominant est de loin la diffusion Coulombienne multiple des électrons. Les angles en question sont de l'ordre de (ou supérieurs) ceux de l'émission Tcherenkov. Rossi et Greisen [60] ont montré que:

$$<\theta_s^2>=\left(\frac{E_s}{E^2}\right)^2 dt/X_0$$

où $<\theta_s^2>$ est l'angle de diffusion carré moyen, $E$ l'énergie de la particule, $E_s$ une constante ($\approx 21$ MeV) et $dt$ la longueur de la trajectoire. Pour un électron typique de 100 MeV ayant parcouru une longueur de radiation $X_0$ dans l'air ($\approx36.7$ g.cm$^-2$), l'angle de diffusion moyen est d'environ 12 degrés, un ordre de grandeur plus grand que l'angle d'émission Tcherenkov. Il apparaît ainsi que la diffusion Coulombienne domine presque toujours l'émission Tcherenkov dans la détermination de la distribution angulaire de la lumière de la cascade. C'est le point clef pour comprendre la forme des images décrite ultérieurement.

Le rayon Tcherenkov d'une cascade atmosphérique pour une particule se déplaçant verticalement à une hauteur $h$ est donné par:

$$r\approx\sqrt{2\eta_0}he^\frac{-h}{2h_0}$$

Pour $h_{max}=2h_0$, on obtient un rayon $r\approx120$m.