Paramètres de Hillas

Le groupe d'astronomie gamma de l'observatoire de Whipple a été le premier à mettre en oeuvre la technique d'imagerie. La méthode employée consiste à modéliser la distribution de lumière dans le plan focal par une gaussienne bidimentionnelle caractérisée par ses directions principales et les écarts-types associés. Cette démarche, initiée par M. Hillas [65] et ultérieurement améliorée, est ici rappelée car elle permet de déterminer les conditions initiales du maximum de vraisemblance utilisé par CAT.

Dans l'analyse de type "Hillas", différentes grandeurs sont évaluées pour chaque image obtenue (figure 6.4):

• la largeur $\sigma _l$
• la longueur $\sigma _L$
• l'angle de pointé $\alpha$
• la distance du grand axe à la source $b$
• la distance du barycentre à la source $D$

Avec $q_i$ la charge en photoélectrons du $i^{eme}$ pixel de coordonnées $x_i$ et $y_i$, on note

$$<x>=\frac{\sum_i q_ix_i}{\sum_i q_i}, <y>=\frac{\sum_i q_iy_i}{\sum_i q_i}$$

$$<x^2>=\frac{\sum_i q_ix_i^2}{\sum_i q_i}, <y^2>=\frac{\sum_i q_iy_i^2}{\sum_i q_i}, <xy>=\frac{\sum_i q_ix_iy_i}{\sum_i q_i}$$

$$<x^3>=\frac{\sum_i q_ix_i^3}{\sum_i q_i}, <y^3>=\frac{\sum_i ... ...2y_i}{\sum_i q_i}, <xy^2>=\frac{\sum_i q_ix_iy_i^2}{\sum_i q_i}$$

$$\sigma_{x^2}=<x^2>-<x>^2,\sigma_{y^2}=<y^2>-<y>^2,\sigma_{xy}=<xy>-<x><y>$$

$$\sigma_{x^3}=<x^3>-3<x>^2<x>+<x>^3,$$

$$\sigma_{x^2y}=<x^2y>-2<xy><x>+2<x>^2<y> -<x^2><y>$$

$$\sigma_{y^3}=<y^3>-3<y>^2<y>+<y>^3,$$

$$\sigma_{xy^2}=<xy^2>-2<xy><y>+2<x><y>^2 -<x><y^2>$$

$$d=\sigma_{x^2}-\sigma_{y^2},z=\sqrt{d^2+4\sigma_{xy}}$$

$$\sigma_L=\frac{\sigma_{x^2}+\sigma_{y^2}+z}{2}, \sigma_l=\frac{\sigma_{x^2}+\sigma_{y^2}-z}{2}$$

$$D=\sqrt{<x>^2+<y>^2},b=\sqrt{\frac{(1+d/z)<x>^2+(1-d/z)<y>^2}{2}-\frac{2\sigma_{xy}<x><y>}{z}}$$

$$\alpha=Arcsin\left(\frac{b}{D}\right)$$

Les paramètres ainsi définis sont représentés sur la figure 6.4

Figure 6.4: Définition géométrique des paramètres de Hillas dans le cadre d'une approximation elliptique de la forme de l'image. Le point C représente le barycentre de l'image pondérée par la quantité de lumière.

Pour déterminer les valeurs des contenus de chaque pixel, les images sont d'abord nettoyées pour éviter qu'un dysfonctionnement technique ou qu'un signal venant du bruit de fond de ciel ne modifie arbitrairement les caractéristiques. La charge $q_i$ d'un pixel (en photoélectrons) est mise à zéro si:

• $V_1\leq q_i \leq V_2$ et aucun des 6 voisins du pixel n'est porteur d'une charge $\geq V_2$

Les choix de $V_1$ et $V_2$ ont été déterminés après une analyse visuelle des images et fixés à: $V_1=2.3$ et $V_2=4.0$

Avec cette caractérisation des images, la sélection des cascades électromagnétiques parmi l'ensemble des événements déclenchant le télescope peut s'effectuer à la fois sur des critères de forme ($\sigma _L$ et $\sigma _l$) et des critères d'orientation ($D$,$\alpha$ et $b$). Dans notre cas, seules des coupures préliminaires très "larges" sur la forme ($\sigma_L<9$ mrad et $\sigma_l<4$ mrad) sont appliquées avant de mettre en oeuvre le maximum de vraisemblance. Environ 25% des événements sont ainsi rejetés (évalué sur les données réelles) et seulement 2% des gammas sont perdus (évalué sur des gammas simulés en loi de puissance du Crabe).

La partie gauche de la figure 6.5 présente la distribution des $\sigma _L$ pour des photons gamma simulés en loi de puissance et pour un fond de rayons hadroniques obtenu à partir des données réelles en visant hors du champ de toute source gamma potentielle. La moitié droite présente de façon analogue l'histogramme des $\sigma _l$. L'étude systématique des critères de coupures sur ces paramètres n'a pas été menée dans le cas de CAT car la méthode d'analyse utilisée exploite davantage l'information contenue dans les pixels de l'image. Il apparaît néanmoins qu'une part importante ($\approx 53 \%$) du fond peut-être rejetée en perdant peu de gammas ($\approx 24 \%$) sur de simples considérations de forme (0.7 mrad $<\sigma_l<$ 1.5 mrad et 2.0 mrad $<\sigma_L<$ 5.0 mrad).

Figure 6.5: Gauche: distribution des longueurs ($\sigma _L$) d'images de photons et de hadrons. Droite: distribution des largeurs ($\sigma _l$) d'images de photons et de hadrons.

Les distributions des angles de pointé $\alpha$ entre le grand axe de l'ellipse approximant l'image et la droite joignant le centre du champ au barycentre sont représentées sur la figure 6.6. Cette variable est distribuée entre 0 et 90 degrés étant donné que dans le cadre de la paramétrisation de Hillas l'axe n'est pas orienté. C'est une grandeur très discriminante puisque l'histogramme équivalent pour le fond hadronique (et pour les muons) est plat (comme présenté dans la dernière partie sur les différentes figures obtenues "OFF-source") consécutivement à l'isotropie des directions d'arrivée des rayons cosmiques chargés. La précision avec laquelle cet angle est estimé dépend fortement de l'énergie: le nombre d'événements gamma pour lesquels $\alpha < 10^{o}$ évolue de 39% à 93% entre 100 GeV et 15 TeV.

L'optimisation des coupures sur les paramètres de Hillas est assez délicate dans la mesure où elle nécessite de tenir compte de 6 paramètres qui ne sont pas indépendants. Les bornes doivent, de plus, dépendre de l'énergie (qui est elle-même une grandeur à estimer) et de l'angle zénithal.

Dans la démarche choisie pour l'exploitation de l'imageur CAT, fondée sur une analyse par maximum de vraisemblance, à la fois simple dans son principe et précise dans ses résultats, les moments géométriques de Hillas ne sont utilisés que pour estimer les conditions initiales de l'ajustement.

Figure 6.6: Angle de pointé $\alpha$ calculé sur la base des paramètres de Hillas pour des gammas simulés au zénith à 100 GeV, 300 GeV, 1 TeV et 15 TeV.