Enoncé des quatre principes de la thermodynamique des trous noirs

Conformément à l'analogie thermodynamique, les quantités :

$$\theta = \frac{\hbar \kappa}{2\pi k c}, \mbox { }S^H=\frac{\mathcal{A}}{4l_{Pl}^2}, \mbox { } E=Mc^2$$

jouent respectivement le rôle de la température, de l'entropie et de l'énergie interne du trou noir.
Bardeen, Carter et Hawking formulèrent les quatre principes de la thermodynamique pour la physique des trous noirs de façon similaire aux quatre principes de la thermodynamique usuelle.

Principe Zéro : La gravité de surface $\kappa$ d'un trou noir stationnaire est constante sur toute la surface de l'horizon.

La thermodynamique n'autorise pas l'équilibre lorsque différentes parties d'un système sont à des température différentes. L'existence d'un état stable est postulé par le principe zéro de la thermodynamique. Celui-ci joue donc un rôle similaire dans la physique des trous noirs.

Premier principe : Lorsqu'un système contenant un trou noir passe d'un état stationnaire à un autre, sa masse change de :

$$dM=\theta dS^H +\Omega^H dJ^H + Q^H dQ + \delta q$$ (1.8)

où $dJ^H$ et $dQ$ sont les variations respectives du moment angulaire total et de la charge électrique du trou noir, et $\delta q$ est la contribution à la variation de la masse totale du changement de la distribution stationnaire de matière à l'extérieur du trou noir.

Il s'agit simplement de la forme différentielle de la relation entre la masse et les paramètres physiques précédemment donnée.

Second principe : Dans n'importe quel processus classique, l'aire du trou noir $\mathcal A$ et , par conséquent, son entropie $S^H$, ne diminuent pas :

$$\Delta S^H \geq 0.$$ (1.9)

Cette forme, analogue au second principe de la thermodynamique, est une conséquence du théorème de l'aire de Hawking. Dans les deux cas (trous noirs et thermodynamique), cette seconde loi met en évidence l'irréversibilité inhérente au système dans son ensemble, et définit ainsi la direction de la flèche du temps. En thermodynamique, elle signifie que la part d'énergie interne ne pouvant être transformée en travail augmente avec le temps. De la même manière, elle signifie pour les trous noirs que la part de leur énergie interne qui ne peut pas être extraite grandit inévitablement. Comme en thermodynamique, la quantité $S_H$ délimite notre incapacité d'extraction de toute information sur la structure du système (en l'occurrence de celle du trou noir).

Troisième principe : en thermodynamique, le troisième principe a été formulé de diverses manières. Deux d'entre elles (essentiellement équivalentes) dues au physicien Nernst stipulent que :
(1) les processus isothermes réversibles deviennent isentropiques à la limite de la température nulle.
(2) il est impossible de diminuer la température de tout système jusqu'au zéro absolu en un nombre fini d'opérations.
Une version plus forte a été proposée par Planck : l'entropie de tout système tend vers une constante absolue qui peut être considérée nulle quand $\theta$ tend vers 0.
Barden, Carter et Hawking formulèrent l'analogue du troisième principe pour les trous noirs de la manière suivante : Il est impossible, quelle que soit la procédure, de réduire la température d'un trou noir à zéro par une séquence finie d'opérations.